不连续模型仅能根据半透膜两端稳定时的状态来衡量膜性能能力, 不能很好地解释渗透现象的压力和浓度随时间变化的情况。因此, 建立合理的连续模型可以对压力和浓度的瞬时状态进行模拟。

Greenberg等[49]通过一维模型验证了美国加州的Oxnard盆地的地面沉降是由化学渗透而导致黏土层固结所引起的, 进而引起海水入侵。类似的, 运用该模型模拟了化学渗透引起的黏土半透膜的压缩固结。Noy等[30]改进了该模型对其在瑞士的Opalinus黏土的室内试验以及场地试验结果进行了拟合, 得到了比较好的效果。

Sherwood等[50]假设一个理想的解离系数ν =2的离子溶液, 穿过黏土半透膜的溶液浓度变化可以忽略, 通过Kedem-Katchalsky模型[51, 52]可以得到一个由3个系数(k, D和1-σ )控制的瞬流模型来解释膜性能试验结果, 该模型在简化了化学渗透模型的情况下可以对试验结果进行很好地拟合。但是, 当溶液的离子组分变得复杂时会使未知系数增多, 比如溶液中的离子组分包括1种阳离子和2种阴离子时, 会产生6个未知的系数, 当溶液的离子组分包括2种阳离子与2种阴离子时, 未知系数会增加到13种, 从而使模型失效。有时, 将离子组分近似为单一的阳离子与阴离子可以对化学渗透试验的结果进行粗略模拟。

Malusis等[53]提出了一种复合的迁移模型, 模型中考虑了多种的离子种类以及阴阳离子的交换。在模型中, 研究者使用的测量值以及一些经验系数作为不可逆热力学公式的唯象系数。模拟结果较传统的对流— 弥散模型相比更加符合试验结果。但是模型只考虑化学渗透率系数为零时的情况, 未能反映出化学渗透效率由浓度之间的关系。

Bader等[14], Kooi等[54]和Garavito等[55]提出了一个Spiegler-Kedem模型[26]的一般化模型, 模型中, 液体密度ρ 是由压力与溶液浓度共同决定的, 黏土介质的孔隙度n是由压力决定的:

ρ =ρ 0 eβ(P-P0)(7)

n=1-(1-n0)e-α P (8)

式中:ρ 0为纯水的密度(kg/m3); α , β 分别为固体骨架和液体的压缩系数(Pa-1); n0为固体骨架的初始孔隙度。

由不可逆热力学导出的水流Jv(m/s)及溶质流 Js(mol/(m2· s) )方程为[52]:

Jv=kμ∇P-σνRTρ∇Cρ(9)

Js=(1-σ)CJv-D(1-σ)∇C(10)

式中:k为黏土的渗透率(m2), μ 为液体的动力黏度(kg/ms), Ñ C为半透膜两端的浓度差(mol/L)。

由公式(9)和(10)可知, 当σ =0时, 黏土不具有膜性能, 公式(9)即为Darcy方程, 公式(10)简化为传统的对流— 弥散方程; 当σ =1时, Js=0。说明, 当黏土呈现理想的半透膜性质时, 溶质运移会被完全阻止。

对溶液及溶质的质量守恒方程可知:

n∂ρ∂t+ρ1-n∂n∂t+∇(ρJv)=0(11)

n∂C∂t+C1-n∂n∂t+∇Js=0(12)

将公式(9), (10)代入公式(11), (12)可以得到半透膜两端的压力以及浓度随时间变化的一般微分方程。

Bader等[14]利用此模型, 对室内试验结果进行了模拟, 利用试验测得参数值和合理的经验值, 模拟结果跟试验结果得到了很好地拟合。Garavito等[55]利用该模型对Neuzil[29]在美国中部的Dakota的Pierre页岩中关于化学渗透的场地试验结果进行了数值模拟。该模型可以很好地匹配钻孔内的水头压力, 但盐水井内的矿化度较模拟结果更早的达到了最小值, 研究者认为, 由于加入盐水浓度较高而使部分芒硝析出, 从而使井水的矿化度过早达到最小值, 浓度曲线在后期拟合较好。同样, Garavito等[31]也对比利时的地下实验室(Underground Research Laboratory, URL)进行的场地试验进行了数值模拟, 由此可知, 该模型对室内试验以及场地试验均有很好的适用性。此外, 也有研究者利用此模型对试验数据进行了模拟分析[6, 32, 56]。

另外, 一些研究者在考虑化学渗透对地下水流影响的同时也考虑了电渗透、热渗透等驱动力。Soler[12]在研究放射性核素迁移时, 将对流、化学渗透、超滤、化学扩散、热等因素考虑到其一维模型中。Koniorczyk等[57]提出一种复杂的数值模型来模拟水泥灰浆中的盐分在非等温情况下的运移情况。该模型包括5个平衡方程:空气的质量平衡方程, 液体以及蒸汽的质量守恒方程, 溶于水中的液体离子的质量守恒方程, 多相介质的熵平衡和介质的动量守恒方程。作者通过模拟认为, 在建筑物中的材料具有一定的膜性能(σ =0.4), 在处理建筑物稳定等问题时应该将化学渗透现象考虑进去。